ch030102

摘要:几何观察罗尔(Rolle)定理若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b),则在(a,b)内至少有一点(ab),使f()=0.证f(x)在[a,b]连续，必存在最大值M和最小值m.(1)若M=m,则f(x)=M.故(a,b),都有f()=0.(2)若Mm,f(a)=f(b),证f(x)在[a,b]连续，必存在最大值M和最小值m.(1)若M=m,则f(x)=M.故(a,b),都有f()=0.(2)若Mm,f(a)=f(b),证f(x)在[a,b]连续，必存在最大值M和最小值m.(1)若M=m,则f(x)=M.故(a,b),都有f()=0.(2)若Mm,f(a)=f(b),最值不可能同时在端点取得.不妨设Mf(a),则在(a,b)内至少存在一点使f()=M.x(a,b),有f(x)f(),故由费马引理知f()=0.证毕.不妨设Mf(a),则在(a,b)内至少存在一点使f()=M.x(a,b),有f(x)f(),故由费马引理知f()=0.证毕.不妨设Mf(a),则在(a,b)内至少存在一点使f()=M.x(a,b),有f(x)f(),故由费马引理知证毕.f()=0.例如，f(x)=x2−2x−3=(x−3)(x+1).在[−1,3]上连续，在(−1,3)上可导，且f(−1)=f(3)=0,f(x)=2(x−1),取=1(1(−1,3)),则有f()=0.