妙想奇思——简单而复杂的立方体

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摘要:妙想奇思——简单而复杂的立方体a．欧几里德小姐把一块六面体的木块放在桌上，然后对学生们说：“今天给大家出一道应用题。关于这个立方体，我要问三个问题。”b．“假如我们有一个工作台，我们切九刀就能把这个立方体割成64块小立方体。”c．“如果在切每一刀之前，允许我们把切下的部分重新摆放，那么我们六刀便可切出64块。第一个问题就是，请证明，要切出64块，最少切六刀。”d．学生们开始忙于解题。欧几里德小姐又在立方体的相邻两面上画了两条对角线，并且这两条线有一个公共顶点。“第二个问题是，”欧几里德小姐说，“求出这两条对角线夹角的度数。”e．欧几里德小姐把一根直尺放在木块上，准备提问最后一个问题：“怎样用最简单的方法，只用直尺来量出AB两点的空间长度?”对这几个问题你打算怎样解决?我可以解决其中两个问题。欧几里德小姐的立方体第一个问题的答案是：要证明将一个4×4×4的立方体切成64个小立方体至少切六刀(切每一刀时都可以任意摆放每一块的位置)，只需考察处于大立方体内部的8个小立方体中的任意一个。这种小立方体的六个面都处在大立方体的内部，没有任何一面暴露于大立方体的外表面，而且，小立方体的每个面都必须在切一刀之后才能形成，所以，要切出这样一个小立方体至少需六刀。那么，是否有一个一般的方法，用最少的刀数把一个规则的长方体切成若干小立方体，当然在切的过程中允许任意安排每一块的位置。回答是肯定的，具体方法如下：长宽高三条棱相交于一点，从这一点出发，分别把长宽高分成若干个单位长度，由此确定可切的最少刀数。对每条棱，在尽可能靠近中心的位置切，然后把切下的两部分摞在一起，再在尽

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