导数零点问题总结
摘要:北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育导数零点问题导数是研究函数的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．用导数研究函数f(x)的单调性，往往需要解方程f′(x)＝0.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？猜——猜出方程f′(x)＝0的根[典例]设f(x)＝.(1)若函数f(x)在(a，a＋1)上有极值，求实数a的取值范围；(2)若关于x的方程f(x)＝x2－2x＋k有实数解，求实数k的取值范围．[方法演示]解：(1)因为f′(x)＝－，当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f(x)的极大值点为x＝1，所以a<1<a＋1，即0<a<1，故所求实数a的取值范围是(0,1)．(2)方程f(x)＝x2－2x＋k有实数解，即f(x)－x2＋2x＝k有实数解．设g(x)＝f(x)－x2＋2x，则g′(x)＝2(1－x)－.接下来，需求函数g(x)的单调区间，所以需解不等式g′(x)≥0及g′(x)≤0，因而需解方程g′(x)＝0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解．可得g′(1)＝0，且当0<x<1时，g′(x)>0，当x>1时，g′(x)<0，所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(1)＝2.当x→0时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→－∞，所以函数g(x)的值域是(－∞，2]，所以所求实数k的取值范围是(－∞，2]．[解题师说]当所求的导函数解析式中出现lnx时，常猜x＝1；当函数解析式中出现ex
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高一数学方程的根与函数的零点1
17-18版高中物理《导与练》必修1章末总结
