定积分的性质

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摘要:§4定积分的性质教学目的与要求：1.理解并掌握定积分的性质极其证明方法.2.逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题.教学重点，难点：1.定积分的性质极其证明方法.2.应用定积分的性质证明定积分的有关问题.教学内容：一定积分的基本性质性质1若f在[a,b]上可积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积，且bbkfxdx=kf(x)dx.()��aa（1）证当k=0时结纶显然成立.当k0时,由于nni=1i=1�kf(xi)Dxi-kJ=k.�f(xi)Dxi-J,bJ=afd,因此当其中e>0,存在当时d>0,T<d,n�f(x)Dx-Jii<i=1n从而f在[a,b]上可积时,由定义,任给�kf(x)Dx-kJiie,k<e.i=1即kf在［a,b］上可积，且bbkf(x)dx=kJ=k�f(x)dx.�aa性质２若f﹑g都在［a,b］可积，则fg在［a,b］上也可积，且bbbf(x)dx�b�g(x)dx.�f(x)�g(x)��dx=��a�aa证明与性质１类同。注1性质１与性质２是定积分的线性性质，合起来即为（2）bbbafx+bgxdx=afxdx+bg(x)dx,��()()()��a�aa其中a﹑为常数。注2在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有任意两个在[a,b]上可积，则另外一个在[a,b]上可积.在f，g，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有一个在[a,b]上可积，一个在[a,b]上不可积，则另外一个在[a,b]上必不可积.性质３若f﹑g都在［a,b］上可积，则f·g在［a,b］上也可积。证由f

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