动物皮毛上的斑点和条纹的数学特征

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摘要:动物皮毛上的斑点和条纹的数学特征这里我们举一个图灵理论很有意思的应用：猎豹身上的斑点是怎样形成的，或者更广泛的来说，动物皮毛上的斑点和条纹是怎样形成的。这一理论的始创者是英国牛津大学和美国华盛顿州大学现在已经退休的生物数学家詹姆斯·默瑞（JamesD.Murray),他的宏著《数学生物学》在2002/2003年出了第三版洋洋洒洒的两册近1400页，是生物数学家亦或数学生物学家案头必备的著作。动物园里最吸引小朋友和大朋友们的就是身上皮毛色彩斑斓的斑马，老虎，金钱豹和熊猫了。为什么有些动物身上有斑点，有些有条纹，而有些就是单色呢？默瑞认为所有哺乳动物身上的斑图形态（pattern）是同一反应扩散机理造成的：在动物胚胎期，一种他称之为形态剂（morphogen）的化学物质随着反应扩散的动力系统在胚胎表面形成一定的空间形态分布，然后在随后的细胞分化中形态剂促成了黑色素（Melanin）的生成，而形态剂的不均匀分布也就造成了黑色素的空间形态。在这里反应扩散方程组是定义在一个稍扁的圆柱体表面（动物表皮）加上一个长长的圆柱体表面（尾巴）上面。这样写成的非线性反应扩散方程组一般是找不出解的表达式的，但是按图灵的想法我们可以判断常数解的稳定性，并得到在常数解附近线性化方程解的公式。这个公式是一个傅里叶级数，但是通常只有前面若干项起决定作用，而方程非常数解也大约可从这几项的相应空间特征函数决定。拉普拉斯算子在圆柱体表面上的特征函数正是两个方向的余铉函数之乘积，即cos(nx/a)cos(2my/b)这里a,b分别是动物身体长度和“腰围”，m,n是自然数或者零，x,y是两个方

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