瑞利商加速幂法的应用

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摘要:瑞利商加速幂法的应用一．问题背景物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求解矩阵特征值问题当矩阵阶数较小时，可以通过求特征多项式的根来得到特征值；当矩阵阶数比较大的时候，就需要用到一些数值方法。对于矩阵ACnn，特征值问题是求C记非零向量x，使Axx称为矩阵A的特征值，x为对应于的特征向量。上述方程是一个非线性方程，它有非零解x的充要条件是()det(IA)nc1n1...cn1cn0称()为特征多项式。方程()0有n个根，包括重根与复根。因为一般不能通过有限次运算准确求解方程()0的根，而且有的问题只需要求部分特征值和特征向量，因此特征值问题的数值计算通常采用迭代法。常用的有幂法，但有时幂法收敛较慢，需要加速收敛的方法，有Aitken外推法和瑞利商加速法。这里我们就学习一下瑞利商加速法。二．数学模型设矩阵ACnn的n个特征值满足|1||2|...|n|对应的n个特征向量x1,x2,...,xn线性无关，称模最大的特征值1为主特征值，称对应的特征向量x1为主特征向量。幂法用于求主特征和主特征向量。它的基本思想是任取一个非零的初始向量v0，由矩阵A构造一向量序列vkAvk1Akv0,k1,2,...由假设，v0可表示为v01x12x2...nxn若记(vk)i为vk的第i个分量，则有nvkAkv0iikxii1n1k1x1i(i)kxi1k(1x1k);1i2(vk1)i1(1x1k

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