二重积分的概念与性质

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摘要:第一讲二重积分的概念与性质•内容提要二重积分的概念与性质•教学要求1.理解二重积分的意义与性质；2.掌握二重积分的概念与性质。一、实例zf(x,y)１．曲顶柱体的体积曲顶柱体:zf(x,y)D以xoy平面上的有界闭区域D为底，以连续曲面zf(x,y)(0)为顶侧面是以D的边界曲线为准线,,母线平行轴的柱面所围成的图形.z求曲顶柱体的体积V=？曲顶为平顶例如当f(x,y)常数时,.平顶柱体体积=底面积×高D曲顶柱体体积V求法如下：（1）分割:zzf(x,y)将区域D任意分成n个小区域:记为1,,i,,n.并表示该区o域的面积,分别以这些小区域的边界曲线为准线，xiyD作母线平行z轴的柱面,这些柱面把原来的曲顶柱体分成n个小曲顶柱体.其中第i个如下图(2)求每个小曲顶柱体的体积近似值：z以第i个小曲顶柱体为例,在第i个区域上任取一点(i,i)以i为底,以f(i,i)为高,f(i,i)可得到平顶柱体,从而可得到第i个小曲顶柱体体积Vi的近似值Vif(i,i)ii1,2,....,nzf(x,y)oyxi(i,i)DVif(i,i)ii1,2,....,nnni1i1(3)求近似和：VVif(i,i)i（4）取极限：当区域D分割得越细密,上式右端的和式越接近于体积V,取n个小区域中的直径最大者记为,当0时,则nVlimf(i,i)i0i1

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