无穷小的比较

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摘要:第七讲无穷小量的比较•内容提要无穷小量的比较。•教学要求1.熟练掌握无穷小的比较；2.等价无穷小量的性质及一些常见的等价无穷小。由无穷小的性质可知,两个无穷小的和、差、积仍为无穷小,但两个无穷小的商会出现不同的情况。如当x0时,函数2x,x2,sinx都是无穷小。但是x2xlim0(1)limx02x02x2x(2)lim2x0x11sinxsinx(3)limlimx02x0x22x事实上x20比2x0“快些”,2x0“慢些”0比反之2x而sinx0与2x0的“快”、“慢”差不多。由此可见,无穷小虽然都是以0为极限的变量,但它们趋向0的速度不一样,为了反映无穷小趋向0的“快”、“慢”程度,我们引入无穷小的“阶”的概念。下面仅给出xx0时的无穷小比较的定义,00对于xx,xx,x,xx等情况的无穷小比较的定义可类似。(x)0定义设limxx0(x)0limxx0(x)0,则称(x)是比(x)（1）如果limxx0(x)高阶的无穷小,记为(x)o((x))(x),则称(x)是比(x)（2）如果limxx0(x)低阶的无穷小。(x)C(0,1)则称(x)与（3）如果limxx0(x)(x)是同阶无穷小。(x)1则称(x)与(x)为（4）如果limxx0(x)等价无穷小,记为(x)~(x)3x3o(3x)(x0)x0例如limx03xsinx1sinx~x(x0)xlim0xx111lim2

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